Question

已知M(-

3

，0)，N(

3

，0)是平面上的两个定点，动点P满足|PM|+|PN|=2

6

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）已知圆方程为x²+y²=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点，设Q为AB的中点，求|OQ|长度的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由M(-

3

，0)，N(

3

，0)是平面上的两个定点，动点P满足|PM|+|PN|=2

6

．可得椭圆的a，c的值，进而求出b值，可得动点P的轨迹方程；
（2）如果圆的切线斜率不存在，可得|OQ|=

2

，如果圆的切线斜率存在，设圆的切线方程为y=kx+b，联立椭圆方程，由韦达定理及直线AB与圆x²+y²=2相切，可得OA⊥OB，进而由弦长公式和基本不等式可求出|OQ|长度的取值范围．

解答：解：（1）∵M(-

3

，0)，N(

3

，0)是平面上的两个定点，动点P满足|PM|+|PN|=2

6

．
依椭圆的定义知，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
且a=

6

，c=

3

，b=

3

，
所以动点P的轨迹方程为

x2

6

+

y2

3

=1．
（2）如果圆的切线斜率不存在，则AB方程为x=±

2

，此时，|OQ|=

2

．
如果圆的切线斜率存在，设圆的切线方程为y=kx+b，
代入椭圆方程得：（1+2k²）x²+4bkx+2b²-6=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程①的解，
所以x1+x2=-

4kb

1+2k2

，x1•x2=

2b2-6

1+2k2

②
因为x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2，
把②式代入得：x1x2+y1y2=(1+k2)•

2b2-6

1+2k2

+kb•(-

4kb

1+2k2

)+b2=

3(b2-2k2-2)

1+2k2

③
又因为直线AB与圆x²+y²=2相切，
所以

|b|

1+k2

=

2

，即b²=2（1+k²），
代入③式得x₁x₂+y₁y₂=0，
因此OA⊥OB，
所以|OQ|=

1

2

|AB|．
由b²=2（1+k²）得|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

1+ k2 4k4+4k2+1

，
因为

k2

4k4+4k2+1

≥0，所以|AB|≥2

2

（当且仅当k=0时取等号）．
k≠0时，

k2

4k4+4k2+1

=

1

4k2+ 1 k2 +4

≤

1

8

，
因此|AB|≤3（当且仅当k=±

2

2

时取等号）．
综上，2

2

≤|AB|≤3，所以

2

≤|OQ|≤

3

2

．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，轨迹方程，解答（1）的关键是熟练掌握椭圆的定义，而（2）的综合性强，运算强度大，是高考常见的压轴题型，属于难题．