Question

6．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦 点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线方程．
（2）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线方程．
（2）分类讨论，结合圆心M（0，2）到直线AK的距离，即可讨论直线AK与圆M的位置关系．

解答 解：（1）因为A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，
所以4+$\frac{p}{2}$=5，
所以p=2，
所以抛物线方程为：y²=4x…（2分）
（2）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，…（10分）
当m≠4时，直线AK的方程为$y=\frac{4}{4-m}（x-m）$即为4x-（4-m）y-4m=0
圆心M（0，2）到直线AK的距离$d=\frac{{\left|{2m+8\left.{\;}\right|}\right.}}{{\sqrt{16+{{（m-4）}^2}}}}$，令d＞2，得m＞1…（12分）
故当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交．…（14分）

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．