Question

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x 的方程f（x）=lg（x+1），在x∈[0，9]上解的个数是

1. A.
   7
2. B.
   8
3. C.
   9
4. D.
   10

Answer 1

C
分析：首先有已知条件推导函数f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解
解答：设y₁=f（x），y₂=lg（x+1）
方程f（x）=lg（x+1）在x∈[0，9]上解的个数，即为函数y₁=f（x），y₂=lg（x+1）的图象在x∈[0，9]上交点的个数
∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x）=f（x+2）
∴原函数的周期T=2
又∵x∈[0，1]时，f（x）=-x+1
由以上条件，可画出y₁=f（x），y₂=lg（x+1）在x∈[0，9]的图象：
又因为当x=9时，y₁≤1，y₂=1
∴结合图象可知，在[0，9]上y₁=f（x），y₂=lg（x+1）的图象共有9个交点
∴在[0，9]上，原方程有9个根
故选C
点评：本题主要考查了函数的性质，同时考查了转化的思想和函数与方程思想，数形结合思想，属较难题