Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，是线段上的动点，，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点．

（1）若，求直线的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整数.

①求的值；

②求三角形的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

(1)确定出圆的圆心坐标，然后考虑直线的斜率是否存在，斜率存在时利用半弦长、半径、圆心到直线的距离构造成的直角三角形求解出直线的方程，注意验证是否符合；

(2) ①根据得到的轨迹应该满足的条件，再将其转化为点到直线距离问题完成求解；

②考虑分类讨论直线的斜率存在与否，并计算或表示出对应的面积，从而确定出面积的最小值.

（1）由题意可知，圆的直径为，

所以圆方程为：．

因为，所以到直线的距离为.

若斜率不存在，则到直线的距离为2，不符合，所以斜率存在；

设方程为：，则，解得，，

当时，直线与轴无交点，不符合，舍去．

所以，此时直线的方程为．

（2）①设，由点在线段上，得，即．

由，得．

依题意知，线段与圆至多有一个公共点，

故，解得或．

因为是使恒成立的最小正整数，所以．

②，圆方程为：，

（i）当直线：时，直线的方程为，此时，；

（ii）当直线的斜率存在时，设的方程为：，

则的方程为：，点．所以，．

又圆心到的距离为，

所以，．

故，取等号时.

又因为，所以三角形面积的最小值为.