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(2013•绵阳一模)已知函数f(x)=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-
1
2

(I)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;
(II)设g(x)=kx+1,对?x∈(0,+∞),f(x)≤g(x)恒成立,求实数k的取值范围;
(III)设bn=
ln(n+1)
n3
,证明:b1+b2+…+bn<1+ln2(n∈N*,n≥2).
分析:(Ⅰ)求导数,利用函数f(x)=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-
1
2
,可确定a的值,利用导数的正负,可得函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)?x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即lnx-(k+1)x≤0恒成立,构造函数h(x)=lnx-(k+1)x,利用h(x)max≤0,即可求得k的取值范围;
(Ⅲ)先证明当n≥2时,有ln(n+1)<n,再利用放缩法,裂项法,即可证得结论.
解答:(Ⅰ)解:由已知:f′(x)=
1
x
-a
(x>0),
∵函数f(x)=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-
1
2

f′(2)=
1
2
-a=-
1
2
,∴a=1.
f′(x)=
1
x
-1=
1-x
x

当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f (x)为增函数,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f (x)为减函数,
∴f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).  …(5分)
(Ⅱ)解:?x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即lnx-(k+1)x≤0恒成立,
设h(x)=lnx-(k+1)x,有h′(x)=
1-(k+1)x
x

①当k+1≤0,即k≤-1时,h′(x)>0,此时h(1)=ln1-(k+1)≥0与h(x)≤0矛盾.
②当k+1>0,即k>-1时,令h′(x)=0,解得x=
1
k+1

x∈(0,
1
k+1
)
,h′(x)>0,h(x)为增函数,x∈(
1
k+1
,+∞)
,h′(x)<0,h(x)为减函数,
∴h(x)max=h(
1
k+1
)=ln
1
k+1
-1≤0,
即ln(k+1)≥-1,解得k≥
1
e
-1

综合k>-1,知k≥
1
e
-1

∴综上所述,k的取值范围为[
1
e
-1
,+∞).…(10分)
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知f (x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
∴f (x)≤f (1)=0,∴lnx≤x-1.
当n=1时,b1=ln(1+1)=ln2,
当n≥2时,有ln(n+1)<n,
∵bn=
ln(n+1)
n3
n
n3
=
1
n2
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n

∴b1+b2+…+bn<b1+(
1
2-1
-
1
2
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=ln2+(1-
1
n
)<1+ln2.…(14分)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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1
33
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3
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