Question

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（c＞0），其导函数y=h′（x）的图象如图所示，f（x）=lnx-h（x）．
（1）求函数f（x）在x=1处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间（

1

2

，m+

1

4

）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=2x-ln x（x∈[1，4]）的图象总在函数y=f（x）的图象的上方，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由导函数y=h′（x）的图象过点A，B，可求出h′（x），从而可求出f′（x），f′（1），即所求斜率；
（2）利用导数求出f（x）的单调区间，则区间（

1

2

，m+

1

4

）为其一单调区间的子集，由此可解；
（3）函数y=2x-ln x（x∈[1，4]）的图象总在函数y=f（x）的图象的上方，等价于2x-ln x＞f（x）在x∈[1，4]上恒成立，分离参数后转化为函数最值问题处理即可．

解答：解：（1）由题知，h′（x）=2ax+b，其图象为直线，
且过A（2，-1）、B（0，3）两点，
∴

4a+b=-1 b=3

，解得

a=-1 b=3

．
∴h（x）=-x²+3x+c．∴f（x）=ln x-（-x²+3x+c）=x²-3x-c+ln x．
∴f′（x）=2x-3+

1

x

，∴f′（1）=2-3+

1

1

=0，
所以函数f（x）在x=1处的切线斜率为0．
（2）由题意可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）知，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=1．
当x变化时，f（x）、f′（x）随x的变化情况如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	?↗	极大值	?↘	极小值	?↗

∴f（x）的单调递增区间为（0，

1

2

），（1，+∞）；f（x）的单调递减区间为（

1

2

，1）．
要使函数f（x）在区间（

1

2

，m+

1

4

）上是单调函数，
则

1 2 ＜m+ 1 4 m+ 1 4 ≤1

，解得

1

4

＜m≤

3

4

．
故实数m的取值范围是（

1

4

，

3

4

]．
（3）由题意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，
即当x∈[1，4]时，c＞x²-5x+2lnx恒成立．
设g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，则c＞g（x）_max．易知g′（x）=2x-5+

2

x

．令g′（x）=0得，x=

1

2

或x=2．
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈（2，4）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
而g（1）=1²-5×1+2ln 1=-4，g（4）=4²-5×4+2ln 4=-4+4ln 2，
显然g（1）＜g（4），故函数g（x）在[1，4]上的最大值为g（4）=-4+4ln 2，故c＞-4+4ln 2．
∴c的取值范围为（-4+4ln 2，+∞）．

点评：本题考查了导数的几何意义及导数与函数单调性的关系，注意不等式恒成立的等价表述方式，解决不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．