Question

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间(1，m+

1

2

)上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=-x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出h′（x），根据图象可知导函数过（0，-8），（4，0）两点，则把两点坐标代入h'（x）=2ax+b中求出a和b的值，把a和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化简后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切线的斜率；
（2）在定义域x大于0上，令f′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间单调递增区间为（0，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3），要使函数f（x）在区间(1，m+

1

2

)上是单调函数，根据函数的单调区间可得m+

1

2

大于1且小于等于3，列出不等式求出解集即可到得到m的取值范围；
（3）函数y=-x的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到-x大于等于f（x），列出不等式解出c≤-x²-6lnx+7x恒成立，求出g（x）=-x²-6lnx+7x的最小值方法是令导函数=0求出x的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最小值．根据c小于等于g（x）的最小值列出不等式，求出解集即可得到c的范围．

解答：解：（1）由已知，h'（x）=2ax+b，
其图象为直线，且过（0，-8），（4，0）两点，把两点坐标代入h'（x）=2ax+b
∴

2a=2 b=-8

?

a=1 b=-8

?h(x)=x2-8x+c，h'（x）=2x-8，
∴f（x）=6lnx+x²-8x+c
∴f′(x)=

6

x

+2x-8
∴f'（3）=0，所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0；
（2）f′(x)=

6

x

+2x-8=

2(x-1)(x-3)

x

∵x＞0

∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的单调递减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间(1，m+

1

2

)上是单调函数，
则

1＜m+ 1 2 m+ 1 2 ≤3

，解得

1

2

＜m≤

5

2

（3）由题意，-x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得-x≥6lnx+x²-8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤-x²-6lnx+7x在x∈（0，6]恒成立，
设g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，则c≤g（x）_min
g′(x)=-2x-

6

x

+7=

-2x2+7x-6

x

=

-(2x-3)(x-2)

x

因为x＞0，∴当x∈(

3

2

，2)时，∴g'（x）＞0，g（x）为增函数
当x∈(0，

3

2

)和（2，+∞）时，∴g'（x）＜0，g（x）为减函数
∴g（x）的最小值为g(

3

2

)和g（6）的较小者．
g(

3

2

)=-

9

4

-6ln

3

2

+7×

3

2

=

33

4

-6ln

3

2

，
g（6）=-36-6ln6+42=6-6ln6，
g(

3

2

)-g(6)=

9

4

-6ln

3

2

+6ln6=

9

4

+12ln2＞0，
∴g（x）_min=g（6）=6-6ln6．
又已知c＜3，
∴c≤6-6ln6

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．