Question

已知等差数列满足a₁=1，a₃=6，若对任意的n∈N^*，数列{b_n}满足b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．
（1）求a_n，b_n
（2）设S_n=（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n，n∈N*，证明：对任意的n∈N*，．

Answer 1

解：（1）设数列的公差d，依题意该数列的第一项为=1，第三项为，
∴2=1+（3-1）d，．
∴，
∴，
∵b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．
∴b_n•b_n+1=4a_n+1²，
∴b_n•b_n+1=（n+2）²（n+1）²，
∴=1，n∈N^*．
令，
则c_nc_n+1=1，∴，且c_n≠0．
∵=，
∴，
∴，
∴b_n=（n+1）²．
（2）当n是偶数时，
S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-…-n²+（n+1）²
=5+9+13+…+（2n+1）
=．
∴==，
∴．
当n是奇数时，
S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-8²+…+n²-（n+1）²
=5+9+13+…+（2n-1）-（n+1）²
=
∴=═，
∴．
综上所述，对任意的n∈N^*，．
分析：（1）设数列的公差d，依题意该数列的第一项为=1，第三项为，所以．由此能求出．由b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．知b_n•b_n+1=4a_n+1²，，n∈N^*．由此能求出b_n=（n+1）²．
（2）当n是偶数时，S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-…-n²+（n+1）²=．所以．当n是奇数时，=，所以，综上所述，对任意的n∈N^*，．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和证明对任意的n∈N^*，．解题时要认真审题，注意构造法和分类讨论思想的合理运用．计算量大，容易出错，要注意计算能力的培养．