Question

已知椭圆C：，左焦点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（I）解：∵椭圆C：，
左焦点，且离心率，
∴c=，，
∴a=2，b²=4-3=1，
∴椭圆C的方程．
（II）证明：设M（x₁，y₁） N（x₂，y₂），
右顶点A（2，0）
，
∵以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，
∴（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
∴4+（km-2）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+m²=0 ①
把y=kx+m代入椭圆方程，
得+（kx+m）²=1，
整理，得（+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
所以x₁x₂=，x₁+x₂=-，②
把②入①，得
4+（km-2）•（-）+（1+k²）•+m²
=（5m²+16km+12k²）÷（1+4k²）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k²）
=0
所以m+2k=0 或者 m+k=0
当m+2k=0时，直线y=kx-2k恒过点（2，0）和A点重合显然不符合
当m+k=0时 直线恒过点（，0）符合题意
所以该定点坐标就是（，0）．
分析：（I）由题设知c=，，由此能求出椭圆C的方程．
（II）设M（x₁，y₁） N（x₂，y₂），右顶点A（2，0），，由以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，知（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，由y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，知4+（km-2）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+m²=0．把y=kx+m代入椭圆方程，得（+k²）x²+2kmx+m²-1=0，再由韦达定理结合题设条件能求出该定点坐标．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．