Question

6．如图，在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，点A在边PB上，AD∥BC，PB=3BC=6，现沿AD将△PAD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）当CD=BC时，证明：直线BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当三棱锥P-ABD的体积取得最大值时，求平面PBD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当CD=BC时，四边形ABCD是正方形，连结AC、BD，则BD⊥AC，再推导出PA⊥AD，从而BD⊥PA，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设DC=t，t∈（0，6），则PA=6-t，以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PBD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）在直角梯形PBCD中，AD∥BC，AB∥DC，DC⊥BC，
当CD=BC时，四边形ABCD是正方形，
连结AC、BD，则BD⊥AC，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，
PA?平面ABCD，故BD⊥PA，
又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）设DC=t，t∈（0，6），则PA=6-t，
由（Ⅰ）知V_P-ABD=$\frac{1}{3}[\frac{1}{2}•（6-t）•t]×2$≤$\frac{1}{3}[\frac{（6-t）+t}{2}]^{2}$=3，
当6-t=t，即t=3时取等号，此时AP=AB=DC=3．
如图，以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（3，0，0），D（0，2，0），P（0，0，3），C（3，2，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，
∵$\overrightarrow{DC}$=（3，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=3x=0}\\{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}=-2y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，2），
设$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）是平面PBD的法向量，
∵$\overrightarrow{BD}$=（-3，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=-3a+2b=0}\\{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{m}=-2b+3c=0}\end{array}\right.$，取c=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，3，2），
设平面PBD与平面PCD所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{13}{\sqrt{13}•\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{221}}{17}$．
∴平面PBD与平面PCD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{221}}{17}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．