Question

已知在四棱锥S-ABCD中，△ABD为正三角形，CB=CD，∠DCB=120°，SD=SB，
（1）求证：SC⊥BD；
（2）M、N分别为线段SA、AB上一点，若平面DMN∥平面SBC，试确定M、N的位置，并证明．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BD中点O，连CO，SO，利用CB=CD，SD=SB，推断出OC⊥BD，SO⊥BD，根据线面垂直的判定定理知BD⊥平面SOC，进而根据线面垂直的性质推断出SC⊥BD．
（2）如图，M，N分别为线段SA，AB的中点，在△SAB中，由M，N分别为线段SA，AB的中点，推断出MN∥SB，根据线面平行的判定定理知MN∥平面SBC，又在△BCD中，因为∠DCB=120°，CD=CB，可求得∠CBD，根据△ABD为正三角形，求得∠DBA，进而求得∠CBA，推断出CB⊥AB，进而可知DN∥BC，根据线面平行的判定定理知DN∥平面SBC，最后依据面面平行的判定定理证明出平面NMD∥平面SBC．

解答： （1）证明：取BD中点O，连CO，SO，因为CB=CD，SD=SB，
∴OC⊥BD，SO⊥BD，
∵OC∩SO=O，OC?平面SOC，SO?SOC，
∴BD⊥平面SOC，
又SC?面SOC，
∴SC⊥BD．
（2）如图，M，N分别为线段SA，AB的中点，
在△SAB中，因为M，N分别为线段SA，AB的中点，
∴MN∥SB，
∵SB?平面SBC，MN?平面SBC，
∴MN∥平面SBC，
在△BCD中，因为∠DCB=120°，CD=CB，
∴∠CBD=30°，
又△ABD为正三角形，
∴∠DBA=60°，
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB，
∴DN∥BC，
∵BC?平面SBC，DN?平面SBC，
∴DN∥平面SBC
∵MN∩DN=N，MN?平面MND，DN?平面MND，
∴平面NMD∥平面SBC．

点评：本题主要考查了面面平行的性质，判定，线面垂直，线面平行的性质判定定理．考查了学生基础知识的掌握和灵活运用．