Question

9．如图所示，该几何体是一个由直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2
（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）若正四棱锥P-ABCD的体积是三棱锥P-ABF体积的4倍，求正四棱锥P-ABCD的高．

Answer 1

分析 （1）证明AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE．
（2）连结BD与AC交于点O，连结PO，推导出P到平面ABEF的距离等于O到平面ABEF的距离，从而P到平面ABF的距离为d=1，由此能求出正四棱锥P-ABCD的高．

解答 证明：（1）直三棱柱ADE-BCF中，∵AB⊥平面ADE，
∴AB⊥AD，又AD⊥AF，
∴AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）
解：（2）连结BD与AC交于点O，连结PO，
∵正四棱锥P-ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
又∵直三棱柱ADE-BCF，∴AB⊥AE，且有AD⊥平面ABEF，
∴AD⊥AE，
∴AE⊥平面ABCD，则PO∥AE，
∵AE?平面ABEF，∴PO∥平面ABEF，
则P到平面ABEF的距离等于O到平面ABEF的距离，
又∵O为BD中点，∴O到平面ABEF的距离为$\frac{1}{2}AD$=1，
∴P到平面ABF的距离为d=1，
∴${V}_{P-ABF}=\frac{1}{3}{S}_{△ABF}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$，
设正四棱锥P-ABCD的高为h，
∵正四棱锥P-ABCD的体积是三棱锥P-ABF体积的4倍，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABCD}•h=\frac{1}{3}×2×2h$=4V_P-ABF=$\frac{8}{3}$，
解得h=2，
∴正四棱锥P-ABCD的高为2．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及正四棱棱的高的求解，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．