Question

19．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x+2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点$（{n，{S_n}}）（{n∈{N^*}}）$均在函数y=f（x）的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，若T_n=m对所有n∈N^*都成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），则f'（x）=2ax+b，由于f'（x）=6x+2，解得a，b，可得f（x）=3x²+2x．根据点$（n，{S_n}）（n∈{N^*}）$均在函数y=f（x）的图象上，可得${S_n}=3{n^2}+2n$利用递推关系即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）得知${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-1）（6n+5）}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-1}-\frac{1}{6n+5}）$，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），则f'（x）=2ax+b，-------------（1分）
由于f'（x）=6x+2，得a=3，b=2，
所以，f（x）=3x²+2x．-------------------------------------（3分）
又因为点$（n，{S_n}）（n∈{N^*}）$均在函数y=f（x）的图象上，所以${S_n}=3{n^2}+2n$．-----（4分）
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（3{n^2}+2n）-[3{（n-1）^2}+2（n-1）]=6n-1$，-----（5分）
当n=1时，a₁=S₁=5，所以，${a_n}=6n-1（n∈{N^*}）$．----------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-1）（6n+5）}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-1}-\frac{1}{6n+5}）$，---（8分）
故${T_n}=\frac{1}{6}[（\frac{1}{5}-\frac{1}{11}）+（\frac{1}{11}-\frac{1}{17}）+…+（\frac{1}{6n-1}-\frac{1}{6n+5}）]=\frac{1}{6}（\frac{1}{5}-\frac{1}{6n+5}）$．------（10分）
因此，要使${T_n}=\frac{1}{30}-\frac{1}{36n+30}＜m$，须$m≥\frac{1}{30}$，-----------------（11分）
所以，T_n＜m对所有n∈N^*都成立的m的最小值为$\frac{1}{30}$．--------------（12分）

点评 本题考查了导数的运算法则、“裂项求和”方法与数列的单调性、数列递推关系、二次函数的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．