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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
,O为坐标原点,离心率e=2,点M(
5
3
)
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且
OP
OQ
=0
.问:
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值?若是请求出该定值,若不是请说明理由.
分析:(1)由于离心率e=2,点M(
5
3
)
在双曲线上,可得
5
a2
-
3
b2
=1
c
a
=2
c2=a2+b2
,解得即可.
(2)设直线OP方程为y=kx(k≠0),与双曲线方程联立可得x2,y2.进而得到|OP|2,同理得到|OQ|2,即可证明为定值.
解答:解:(1)∵离心率e=2,点M(
5
3
)
在双曲线上,∴
5
a2
-
3
b2
=1
c
a
=2
c2=a2+b2
,解得
a2=4
b2=12
c2=16

故所求双曲线的方程为
x2
4
-
y2
12
=1

(2)设直线OP方程为y=kx(k≠0),联立3x2-y2=12.
联立
y=kx
3x2-y2=12
解得
x2=
12
3-k2
y2=
12k2
3-k2
,∴|OP|2=x2+y2=
12(k2+1)
3-k2

则OQ方程为y=-
1
k
x
,同理解得|OQ|2=
12(k2+1)
3k2-1
..
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
=
3-k2+3k2-1
12(k2+1)
=
1
6
.是定值.
点评:本题综合考察连体衣的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到方程组、两点间的距离公式、定值问题等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了分析问题和解决问题的能力,属于难题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1
,直线l过其左焦点F1,交双曲线的左支于A、B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则此双曲线的离心率e=
 

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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且该双曲线的离心率为
5
,则该双曲线的渐近线方程为(  )

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(1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R),则该直线过定点
(-2,1)
(-2,1)

(2)已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x,则双曲线的离心率为
5
3
5
3

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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)满足
a1
b
2
 |=0
,且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x
的焦点重合,则该双曲线的方程为
 

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