Question

（2012•江西模拟）已知向量

a

=（

3

cosx，0），

b

=（0，sinx）．记函数f（x）=（

a

+

b

）²十

3

sin2x．
（I）求函数f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（II）求函数f （x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的坐标运算得（

a

+

b

）²=1+2cos²x，再结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，最后根据正弦函数最值的结论，可得f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（2）根据（1）化简得的表达式，列出不等式-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解此不等式再将它变成区间，即可得到
函数f （x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

cosx，0），

b

=（0，sinx）
∴

a

+

b

=（

3

cosx，sinx），得（

a

+

b

）²=3cos²x+sin²x=1+2cos²x
f（x）=（

a

+

b

）²十

3

sin2x=1+2cos²x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2
∴当2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），即x=-

π

3

+kπ（k∈Z）时，f（x）有最小值为0；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）
∴函数f （x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，其中k∈Z．

点评：本题以向量为载体，求三角函数的最值并讨论单调区间，着重考查了平面向量的坐标运算、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．