Question

已知平面上一定点C（2，O）和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(

PC

+

1

2

PQ

)•(

PC

-

1

2

PQ

)=0．
（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）若EF为圆N：x²+（y-1）²=1的任一条直径，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量数量积的运算性质，得4

|PC|

²=

|PQ|

²．设P（x，y），则Q（8，y），运用距离公式化简可得3x²+4y²=48，整理得

x2

16

+

y2

12

=1，由此可得点P的轨迹是以（±2，0）为焦点的椭圆；
（2）根据题意，得|NE|=|NF|=1且

NE

=-

NF

，由此化简得

PE

•

PF

=

PN

2-1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为-3时

PN

2的最大值为20，由此即得

PE

•

PF

=

PN

2-1的最大值为19．

解答：解：（1）设P的坐标为P（x，y），则Q（8，y）
∵(

PC

+

1

2

PQ

)•(

PC

-

1

2

PQ

)=0，得：4

|PC|

²=

|PQ|

²
∴4[（x-2）²+y²]=[（x-8）²+（y-y）²]，化简得3x²+4y²=48，
∴点P的轨迹方程为

x2

16

+

y2

12

=1，此曲线是以（±2，0）为焦点的椭圆；
（2）∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且

NE

=-

NF

∴

PE

•

PF

=（

PN

+

NE

）•（

PN

+

NF

）=（

PN

+

NF

）•（

PN

-

NF

）=

PN

2-1
∵点P为椭圆

x2

16

+

y2

12

=1上的点，满足x²=16-

4y2

3

∵N（0，1），∴

PN

2=x²+（y-1）²=-

1

3

（y+3）²+20
∵椭圆

x2

16

+

y2

12

=1上点P纵坐标满足 y∈[-2

3

，2

3

]
∴当y=-3时，

PN

2的最大值为20，故

PE

•

PF

=

PN

2-1的最大值等于19．

点评：本题给出动点P的轨迹，求其方程并研究向量数量积的最大值，着重考查了向量的数量积、椭圆的标准方程与简单性质和直线与圆等知识，属于中档题．