Question

（2012•眉山二模）已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，(

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OC

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接根据，(

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0，设出点P的坐标整理即可得到点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）直接设A、B两点的坐标，根据

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OC

，得到A、B、C三点共线．且λ＞0；再把A的坐标用B的坐标表示出来；结合A、B两点在点P的轨迹上以及椭圆上的点的范围限制即可求出λ的取值范围．

解答：解：（1）由(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0，得：

PQ

2-4

PC

2=0，…（2分）
设P（x，y），则（x+4）²-4[（x+1）²+y²]=0，化简得：

x2

4

+

y2

3

=1，…（4分）
点P在椭圆上，其方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OC

得：

CA

+λ

CB

=

0

，
所以，A、B、C三点共线．且λ＞0，
得：（x₁+1，y₁）+λ（x₂+1，y₂）=0，即：

x1=-1-λ-λx2 y1=-λy2

…（8分）
因为

x12

4

+

y12

3

=1，所以

(-1-λ-λx2)2

4

+

(-λy2)2

3

=1①…（9分）
又因为

x22

4

+

y22

3

=1，所以

(λx2)2

4

+

(λy2)2

3

=λ2②…（10分）
由①-②得：

2λ(λ+1)x2+(λ+1)2

4

=1-λ2，化简得：x2=

3-5λ

2λ

，…（12分）
因为-2≤x₂≤2，所以-2≤

3-5λ

2λ

≤2．
解得：

1

3

≤λ≤3所以λ的取值范围为[

1

3

，3]．…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线以及平面向量的综合问题．解决第二问的关键在于由

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OC

，得到A、B、C三点共线．且λ＞0．