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    某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
    4
    5
    、
    2
    3
    、
    2
    3
    ，他们考核所得的等次相互独立．
    （Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
    （Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
    分析：（I）我们分别将“甲考核为优秀”，“乙考核为优秀”，“丙考核为优秀”，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”记为A，B，C，E，根据相互独立事件与对立事件的定义，可得事件A，B，C相互独立，
    .
    A
    •
    .
    B
    •
    .
    C
    与事件E是对立事件，根据相互独立事件乘法公式及对立事件概率减法公式，可得在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
    （Ⅱ）由已知中考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．我们要得ξ的可能取值为
    3
    2
    ，2，
    5
    2
    ，3，分别计算出ξ取得各值时的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可得到数学期望Eξ的值．
    解答：解：（I）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，
    “丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，
    则事件A，B，C相互独立，
    .
    A
    •
    .
    B
    •
    .
    C
    与事件E是对立事件
    则P（E）=1-P（
    .
    A
    •
    .
    B
    •
    .
    C
    ）=1-P（
    .
    A
    ）•P（
    .
    B
    ）•P（
    .
    C
    ）=1-
    1
    5
    ×
    1
    3
    ×
    1
    3
    =
    44
    45

    （II）ξ的可能取值为
    3
    2
    ，2，
    5
    2
    ，3
    ∵P（ξ=
    3
    2
    ）=P（
    .
    A
    •
    .
    B
    •
    .
    C
    ）=
    1
    45
    ，
    P（ξ=2）=P（A•
    .
    B
    •
    .
    C
    ）+P（
    .
    A
    •B•
    .
    C
    ）+P（
    .
    A
    •
    .
    B
    •C）=
    8
    45

    P（ξ=
    5
    2
    ）=P（A•B•
    .
    C
    ）+P（A•
    .
    B
    •C）+P（
    .
    A
    •B•C）=
    20
    45

    P（ξ=3）=P（A•B•C）=
    16
    45

    ∴ξ的分布列为：
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    ∴E（ξ）=
    3
    2
    ×
    1
    45
    +2×
    8
    45
    +
    5
    2
    ×
    20
    45
    +3×
    16
    45
    =
    77
    30
    点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，其中在求随机变量ξ的分布列时，对随机变量的每一个取值，要注意不重不漏，以便准确的计算出ξ取得各值时的概率，这也是计算分布列及数学期望时最容易产生的错误．
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    、
    2
    3
    、
    2
    3
    ，他们考核所得的等次相互独立．
    （1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
    （2）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

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    、
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    、
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    ，他们考核所得的等次相互独立．
    （I）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
    （II）求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数的概率．

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    （Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
    （Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

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    （Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
    （Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

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