【题目】若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2=1的中心,焦点是双曲线的右顶点
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若直线l过点C(2,1)交抛物线于M,N两点,是否存在直线l,使得C恰为弦MN的中点?若存在,求出直线l方程;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:由x2﹣y2=1,可得a2=b2=1,
则双曲线的右顶点为(1,0),
即抛物线的焦点坐标为(1,0),则 ,p=2.
∴抛物线方程为y2=4x;
(2)解:假设存在直线l,使得C恰为弦MN的中点,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则 ,
两式作差得: ,
即 .
∴直线l的斜率为2.
此时l的方程为y﹣1=2(x﹣2),即为2x﹣y﹣3=0.
联立直线方程与双曲线方程后判别式大于0,
∴满足条件的直线方程为2x﹣y﹣3=0
【解析】(1)由双曲线方程求得其右顶点坐标,得到抛物线的焦点坐标,从而求得抛物线的方程;(2)假设存在直线l,使得C恰为弦MN的中点,设出M,N的坐标,利用点差法求出l的斜率,求出直线方程后和双曲线联立后由判别式小于0说明直线不存在.
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【题目】△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(-2,6)、C(-8,0).
(1)分别求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程;
(3)求AC边的中垂线所在直线的方程;
(4)求AC边上的高所在直线的方程;
(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程.
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【题目】某车间为了规定工时定额,需要确定加个某零件所花费的时间,为此作了四次实验,得到的数据如下:
零件的个数x(个) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的时间y(小时) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)求出y关于x的线性回归方程;
(2)试预测加工10个零件需要多少时间?
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
,直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点 M,N.
(1)求椭圆C的方程,并求其焦点坐标;
(2)当△AMN的面积为 时,求k的值.
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【题目】如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC , AE⊥DC , M , N分别是AD , BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是(填序号).
①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置,都有MN⊥AE;③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.
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【题目】如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:
(1)求二面角D′-AB-D的大小;
(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.
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【题目】已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数,当0≤x≤1,f(x)=x2 . 如果函数g(x)=f(x)﹣(x+m)有两个零点,则实数m的值为( )
A.2k(k∈Z)
B.2k或2k+ (k∈Z)
C.0
D.2k或2k﹣ (k∈Z)
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且满足a1= ,2Sn﹣SnSn﹣1=1(n≥2).
(1)求S1 , S2 , S3 , S4并猜想Sn的表达式(不必写出证明过程);
(2)设bn= ,n∈N*,求bn的最大值.
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