Question

【题目】已知f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1，f（x）=x2 ． 如果函数g（x）=f（x）﹣（x+m）有两个零点，则实数m的值为（ ）
A.2k（k∈Z）
B.2k或2k+ （k∈Z）
C.0
D.2k或2k﹣ （k∈Z）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由g（x）=f（x）﹣（x+m）=0得f（x）=（x+m）．设y=f（x），y=x+m． 因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，所以当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2 ． ①由图象可知当直线y=x+m经过点O（0，0）时，直线y=x+a与y=f（x）恰有两个公共点，此时m=0，由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当m=2k时（k∈Z），
直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点．②由图象可知直线y=x+m与f（x）=x2相切时，直线y=x+m与曲线y=f（x）也恰有两个公共点．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x= ，所以y= ，即切点为（ ），
代入直线y=x+m得m= ．
由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当m= 时（k∈Z），直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
综上满足条件的实数m的值为m=2k或m= 时（k∈Z）．
故选D．

利用函数是周期为2的偶函数，作出函数y=f（x）的图象，利用直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点，利用数形结合的思想求m的值．