Question

【题目】已知直线l与曲线y2=4x（y≥0）交于A，D两点（A在D的左侧），A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2． （Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；
（Ⅱ）记△OAD的面积为S1 ， 梯形ABCD的面积为S2 ， 求 的范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 B（1，0），则 A（1，y 1），代入y2=4x，得到y1=2， 又|BC|=2，则x2﹣x1=2，则x2=3，
代入y2=4x，得到y2=2 ，
∴kAD= = = ﹣1，
直线AD的斜率 ﹣1；
（Ⅱ）方法一：设直线 AD的方程为 y=kx+m，与 y轴交点为M（0，m），
则S1=S△OMD﹣S△OMA= |m（x2﹣x1）|=|m|．
由 ，整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，
所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
又S2= （y1+y2）|x2﹣x1|=y1+y2=kx1+m+kx2+m= ，
又y1y2= ＞0，所以k＞0，m＞0，
∴ = = = ，
由△=16﹣16km＞0，则0＜km＜1，
∴ = ＜ ，
∴ 的取值范围（ ，+∞）．
方法二：设直线AD的方程为y=kx+m．
由 ，整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，
所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
|AD|= |x1﹣x2|= =2 ，
点O到直线AD的距离为d= ，则S1= |AD|d=|m|．
又S2= （y1+y2）|x2﹣x1|=y1+y2=kx1+m+kx2+m= ，
又y1y2= ＞0，则k＞0，m＞0，
∴ = = ，
因为△=16﹣16km＞0，则0＜km＜1，
= ＜ ，
∴ 的取值范围（ ，+∞）
【解析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2 ），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2 ， 进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2 ， 进而得到所求范围．