Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x．
（I）若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于点(

π

4

，0)对称，求实数a的最小值；
（II）若函数y=f(x)在[

b

4

π，

3b

8

π](b∈N*)上为减函数，试求实数b的值．

Answer 1

分析：（I）由题意可得：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

），平移a个单位长度后得到函数f（x）=

2

sin(2x+2a+

π

4

)，根据对称性可得2×

π

4

+2a+

π

4

=kπ，即可得到a=-

3π

8

+

kπ

2

进而得到答案．
（II）根据正弦函数的性质可得：y=

2

sin(2x+

π

4

)的递减区间为：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，结合题意可得kπ+

π

8

≤

b

4

π≤

3b

8

π≤kπ+

5π

8

，即

1

2

+4k≤

5

3

+

8

3

k，解得k≤

7

8

，进而求出b的数值．

解答：解：（I）由题意可得：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

），
将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到函数f（x）=

2

sin(2(x+a)+

π

4

)=

2

sin(2x+2a+

π

4

）的图象
∵函数y=

2

sin(2x+2a+

π

4

)关于点(

π

4

，0）对称，
所以2×

π

4

+2a+

π

4

=kπ（k∈Z），即a=-

3π

8

+

kπ

2

，（k∈Z）
因为a＞0，所以k＞

3

4

，
所以当k=1时，a有最小值

π

8

．
（II）∵y=

2

sin(2x+

π

4

)在[

b

4

π，

3b

8

π](b∈N*）上为减函数，并且y=

2

sin(2x+

π

4

)的递减区间为：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，
∴kπ+

π

8

≤

b

4

π≤

3b

8

π≤kπ+

5π

8

∴

1

2

+4k≤b≤

5

3

+

8

3

k
由

1

2

+4k≤

5

3

+

8

3

k得k≤

7

8

，
∵k∈Z∴k=0，
∴

1

2

≤b≤

5

3

，
又因为b∈N^*，
所以b=1．

点评：本题主要考查正弦函数的有关性质，即对称性、单调性以及三角函数图象的平移变换．