Question

已知数列b_n前n项和Sn=

3

2

n2-

1

2

n．数列a_n满足

3	an

=4-(bn+2)（n∈N^*），数列c_n满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列a_n和数列b_n的通项公式；
（2）求数列c_n的前n项和T_n；
（3）若cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用b_n=S_n-S_n-1求出数列b_n的通项公式，然后利用

3	an

=4-(bn+2)求出数列a_n通项公式；
（2）利用c_n=a_nb_n．求出数列c_n的通项公式，写出前n项和T_n的表达式，利用错位相减法，求出前n项和T_n．
（3）求出数列c_n的最大值，利用最大值≤

1

4

m2+m-1，求出m的取值范围．

解答：解：（1）由已知和得，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(

3

2

n2-

1

2

n)-(

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1))=3n-2（2分）
又b₁=1=3×1-2，符合上式．故数列b_n的通项公式b_n=3n-2．（3分）
又∵

3	an

=4-(bn+2)，∴an=4-

(bn+2)

3

=4-

(3n-2)+2

3

=(

1

4

)n，
故数列a_n的通项公式为an=(

1

4

)n，（5分）
（2）cn=anbn=(3n-2)•(

1

4

)n，Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3++(3n-2)×(

1

4

)n，①

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4++(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1，②
①-②得

3

4

Sn=

1

4

+3×[(

1

4

)2+(

1

4

)3+(

1

4

)4++(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

4

+3×

( 1 4 )2[1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1，
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1． （10分）
（3）∵cn=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴cn+1-cn=(3n+1)•(

1

4

)n+1-(3n-2)•(

1

4

)n=(

1

4

)n•[

3n+1

4

-(3n-2)]=-9•(

1

4

)n+1(n-1)，
当n=1时，c_n+1=c_n；当n≥2时，c_n+1≤c_n，∴(cn)max=c1=c2=

1

4

．
若cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，则

1

4

m2+m-1≥

1

4

即可，
∴m²+4m-5≥0，即m≤-5或m≥1． （14分）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力．