Question

已知数列b_n前n项和．数列a_n满足（n∈N^*），数列c_n满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列a_n和数列b_n的通项公式；
（2）求数列c_n的前n项和T_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用b_n=S_n-S_n-1求出数列b_n的通项公式，然后利用求出数列a_n通项公式；
（2）利用c_n=a_nb_n．求出数列c_n的通项公式，写出前n项和T_n的表达式，利用错位相减法，求出前n项和T_n．
（3）求出数列c_n的最大值，利用，求出m的取值范围．
解答：解：（1）由已知和得，当n≥2时，（2分）
又b₁=1=3×1-2，符合上式．故数列b_n的通项公式b_n=3n-2．（3分）
又∵，∴，
故数列a_n的通项公式为，（5分）
（2），，①，②
①-②得 ==，
∴． （10分）
（3）∵，
∴=，
当n=1时，c_n+1=c_n；当n≥2时，c_n+1≤c_n，∴．
若对一切正整数n恒成立，则即可，
∴m²+4m-5≥0，即m≤-5或m≥1． （14分）．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力．