Question

（2008•深圳一模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁为常数，且-a₁、S_n、a_n+1成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=1-S_n，问：是否存在a₁，使数列{b_n}为等比数列？若存在，求出a₁的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据-a₁、S_n、a_n+1成等差数列得到2S_n=a_n+1-a₁；再结合前n项和与通项之间的关系整理即可得a_n+1=3a_n（n≥2）；得到数列{a_n}是首项为a₁、公比为3的等比数列即可求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先求出数列{b_n}的通项公式；结合其通项公式即可求出对应的a₁的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，得2S_n=a_n+1-a₁．于是，当n≥2时，有

2Sn=an+1-a1 2Sn-1=an-a1

．
两式相减，得a_n+1=3a_n（n≥2）．
又因为a₂=2S₁+a₁=3a₁，a_n≠0，所以数列{a_n}是首项为a₁、公比为3的等比数列．
因此，a_n=a₁•3^n-1（n∈N^*）；
（Ⅱ）因为Sn=

a1(1-3n)

1-3

=

1

2

a1•3n-

1

2

a1，
所以bn=1-Sn=1+

1

2

a1-

1

2

a1•3n．
要使{b_n}为等比数列，当且仅当1+

1

2

a1=0，即a₁=-2．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题．其中第一问涉及到了已知前n项和如何求通项问题．