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    设F1、F2分别为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
    （1）若椭圆C上的点A（1，
    3
    2
    ）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
    （2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
    （3）若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时．求证：kPM•kPN是与点P位置无关的定值．
    分析：（1）由椭圆定义集合已知条件求得a，把点A的坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆方程可求，由c2=a2-b2求出c后可得焦点坐标；
    （2）设出线段F1K的中点坐标及K点坐标，有重点坐标公式得到坐标关系，利用代入法求得线段F1K的中点轨迹方程；
    （3）设出M点及N点坐标，在设出P点坐标，由两点式写出PM与PN所在直线的斜率，作积后把点的纵坐标用横坐标表示，整理后可得要证明的结论．
    解答：解：（1）由椭圆C上的点A（1，
    3
    2
    ）到F1、F2两点的距离之和等于4，可知2a=4，即a=2．
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    b2
    =1    ，把点A（1，
    3
    2
    ）代入得：
    1
    4
    +
    9
    4b2
    =1    ，解得b2=3．
    ∴椭圆C的方程为：
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    由c2=a2-b2=4-3=1，得焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0）；
    （2）设线段F1K的中点为G（x，y），K（x0，y0），由中点坐标公式，得
    -1+x0=2x
    y0=2y
    ，即
    x0=2x+1
    y0=2y
    ，代入椭圆方程得：
    (2x+1)2
    4
    +
    4y2
    3
    =1    ．
    ∴线段F1K的中点轨迹方程为
    (2x+1)2
    4
    +
    4y2
    3
    =1    ．
    （3）设点M（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），其中
    m2
    a2
    +
    n2
    b2
    =1    ．
    则n2=b2-
    b2
    a2
    m2    ．
    又设点P的坐标为（x0，y0），则
    x02
    a2
    +
    y02
    b2
    =1    ，y02=b2-
    b2
    a2
    x02    ．
    由kPM=
    y0-n
    x0-m
    ，kPN=
    y0+n
    x0+m
    ，
    得kPM×kPN═
    y0-n
    x0-m
    ×
    y0+n
    x0+m
    =
    y02-n2
    x02-m2
    ，
    将y02=b2-
    b2
    a2
    x02    ，n2=b2-
    b2
    a2
    m2    代入得kPM×kPN=
    y02-n2
    x02-m2
    ，得
    kPM×kPN=
    b2-
    b2
    a2
    x02-b2+
    b2
    a2
    m2
    x02-m2
    =
    b2
    a2
    ．
    点评：本题考查了椭圆的标准方程及简单几何性质，考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了学生的计算能力，是压轴题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F1，F2分别为椭C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点A(1，
    3
    2
    )    到两点的距离之和等于4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点Q(0.
    1
    2
    )    求|PQ|的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设F1，F2分别为椭C：数学公式（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点数学公式到两点的距离之和等于4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点数学公式求|PQ|的最大值．

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