Question

某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．
（1）写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系；
（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象为分段函的图象，所以应求5≤x≤8，与8＜x≤12两部分的解析式，由图象上的点分别代入Q=ax+b，求出即可；
（2）根据二次函数的最值问题分段求得最值，最后综合可以求出f（x）的最值即可．

解答：解：（1）由题设知，当5≤x≤8时，设Q=ax+b，
则

5a+b=12.5 8a+b=5

，∴

a=- 5 2 b=25

∴Q=-

5

2

x+25，
同理得，当8＜x≤12时，Q=-x+13，…（4分）
所以Q=

- 5 2 x+25   5≤x≤8 -x+13      8＜x≤12

…（6分）
（2）月利润为f（x）=Q•（x-5）-10．
由（1）可知，f（x）=

(- 5 2 x-25)(x-5)-10   ，5≤x≤8 (-x+13)(x-5)-10        ，8＜x≤12

，
即

- 5 2 (x- 15 2 )2+ 45 8  ，5≤ x≤8 -(x-9)2+6   ，8＜x≤12

…（9分）
所以当x∈[5，8]时，x=

15

2

，f（x）_最大=

45

8

；
当x∈（8，12]时，x=9，f（x）_最大=6．
所以当x=9时，f（x）取得最大值6．
答：该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．…（14分）

点评：此题主要考查了函数模型的选择与应用、一次函数的应用与二次函数的最值问题，题目比较简单，注意分段函数解析式的求法是解决问题的关键．