Question

（2013•唐山一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，．∠APD=90°
（I ）求证：平面PAB丄平面PCD
（II）如果 AB=BC=2，PB=PC=

6

，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性质定理结合CD⊥AD，证出CD⊥侧面PAD，得CD⊥PA．根据PA⊥PD且CD∩PD=D，证出PA⊥平面PCD，再由面面垂直判定定理，即可证出平面PAB⊥平面PCD
（II）作PO⊥AD，垂足为O，则PO⊥平面ABCD，可得PO就是四棱锥P-ABCD的高线．根据PB=PC得到OB=OC，由四边形ABCD是正方形且边长为2算出OB=

5

，在Rt△OPB中利用勾股定理算出PO=1．最后利用锥体体积公式结合题中数据即可得到四棱锥P-ABCD的体积V=

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形，∴CD⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD?底面ABCD
∴CD⊥侧面PAD，结合PA?侧面PAD，可得CD⊥PA．
又∵∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，且CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD．
∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．…（4分）
（Ⅱ）如图，作PO⊥AD，垂足为O，则PO⊥平面ABCD．
连结OB，OC，可得PO⊥OB且PO⊥OC．
∵PB=PC，∴Rt△POB≌Rt△POC，可得OB=OC．
根据题意，四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴点O是AD的中点．…（7分）
在Rt△OAB中，AB=2，OA=1，可得OB=

AB2+OA2

=

5

．
在Rt△OPB中，PB=

6

，OB=

5

，可得PO=

PB2+OB2

=1．…（10分）
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×S_ABCD×PO=

1

3

×2²×1=

4

3

．…（12分）

点评：本题给出侧面为等腰三角形，且该侧面与底面正方形垂直的四棱锥，求证线线垂直并求锥体的体积，着重考查了正方形的性质，线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．