Question

如图所示，在平面坐标系中，直线y=-2x+b（0＜b＜1）与单位圆x²+y²=1相交于A，B（A在第二象限）两个不同的点，且∠AOB=α，∠BOC=β，则cos（α-2β）的值是（　　）

• A、-

  3

  5

• B、

  3

  5

• C、-

  4

  3

• D、

  4

  3

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,任意角的三角函数的定义,单位圆与周期性

专题：三角函数的求值

分析：把直线与圆的方程联立得到关于x与y的二元二次方程组，求出方程组的解即可得到交点A和B的坐标，然后根据α为第一象限的角，由点A的坐标分别求出sinα和cosα的值，β为第三象限的角，由点B的坐标分别求出sinβ和cosβ的值，最后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答： 解：由任意角的三角函数的定义可知B（cosβ，-sinβ）；
A（cos（α-β），sin（α-β））；
不妨x₁=cosβ，y₁=sinβ，x₂=cos（α-β），y₂=sin（α-β）
联立得：

y=-2x+b x2+y2=1

解得：5x²-4bx+b²-1=0，
∴x₁•x₂=cosβcos（α-β）=

b2-1

5

，x₁+x₂=cosβ+cos（α-β）=

4b

5

，
y₁•y₂=-sinβ•sin（α-β）=4x₁x₂-2b（x₁+x₂）+b²=

4b2-4

5

-

8b2

5

+b²=

b2-4

5

，
则cos（α-2β）=cosβcos（α-β）+sinβsin（α-β）=

b2-1

5

-

b2-4

5

=

3

5

．
故选：B．

点评：此题考查学生掌握象限角的三角函数值的求法，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．