Question

13．（1）已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}-3}{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}$的值．
（2）已知a^2x=$\sqrt{2}$-1，求$\frac{{a}^{3x}+{a}^{-3x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，可得x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2．代入利用“立方和公式”即可得出．
（2）由a^2x=$\sqrt{2}$-1，可得a^-2x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1．代入利用“立方和公式”即可得出．

解答 解：（1）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，∴x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=7，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=47．
∴$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}-3}{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}$=$\frac{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）（x-1+{x}^{-1}）-3}{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}$=$\frac{3×（7-1）-3}{47-2}$=$\frac{1}{3}$．
（2）∵a^2x=$\sqrt{2}$-1，∴a^-2x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1．
∴$\frac{{a}^{3x}+{a}^{-3x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=a^2x-1+a^-2x=$（\sqrt{2}-1）$-1+$（\sqrt{2}+1）$=2$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．