Question

已知△ABC的周长为，且sinB+sinC=sinA．
（1）求边BC的长；
（2）若△ABC的面积为sinA，求角A的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A、B、C所对的边分别为a、b、c，根据已知等式结合正弦定理，得b+c=a，再由△ABC的周长a+b+c=，即可解出a=，从而得到边BC的长；
（2）根据正弦定理关于面积的公式，结合△ABC的面积S=sinA，解出bc=2．再由b+c=a=3，算出b²+c²=5，将所求得的数据代入余弦定理关于cosA的式子，可得cosA=，进而可得A=60°．
解答：解：（1）设A、B、C所对的边分别为a、b、c
∵sinB+sinC=sinA，
∴根据正弦定理，得b+c=a
又∵△ABC的周长为a+b+c=，
∴（1+）a=，解之得a=，即边BC的长等于；
（2）根据正弦定理关于面积的公式，得
S=bcsinA=sinA，可得bc=2
∵b+c=a=3
∴b²+c²=（b+c）²-2bc=5
因此，cosA===
∵A∈（0，π），∴角A的度数为60°
点评：本题给出三角形的周长和三个角正弦的关系式，求边BC的大小并在已知三角形面积的情况下求角A的度数，着重考查了正弦定理的面积公式和用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．