Question

为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表．已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过10⁸时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%．

天数t	1	2	3	4	5	6	7	…
癌细胞个数N	1	2	4	8	16	32	64	…

（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？（精确到1天）
（2）若在第10天，第20天，第30天，…给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为a_t=2^t-1，
要使小白鼠在实验中不死亡，则2^t-1≤10⁸，即t-1≤8log₂10，解得t≤27.58，
∴第一次最迟应在27天注射该种药物，小白鼠在实验中不死亡；
（2）设第n次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为a_n，
则a₁=2⁹（1-98%），且a_n+1=2¹⁰（1-98%）a_n，∴a_n=2^10n-1（1-98%）ⁿ，
于是a₃=2^10×3-1（1-98%）³，即第3次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为
到第38天小白鼠鼠体内的这种癌细胞个数为≈1.1×10⁷＜10⁸
∴第38天小白鼠仍然存活．
分析：（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为a_t=2^t-1，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式2^t-1≤10⁸，即可求得结论；
（2）设第n次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为a_n，可得a_n=2^10n-1（1-98%）ⁿ，从而可知第3次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数，由此可得结论．
点评：本题考查数列模型的运用，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定数列模型．