Question

10．设函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$+x
（Ⅰ）在f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$+x（0＜x≤2）图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）不等式f（x）≥a+1，对x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为a≥${（{{\frac{1}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀∈（0，2]，根据二次函数的性质求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出函数f（x） 的导数，令g（x）=x²+x-a，（x≥1），通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$+1，x∈（0，2]，
则有k=f′（x₀）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}{+x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，在x₀∈（0，2]上恒成立，
所以a≥${（{{\frac{1}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀∈（0，2]，
当x₀=2时，$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀取得最大值4，所以a≥4；
（Ⅱ）由不等式f（x）≥a+1，对x∈[1，+∞）恒成立，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，令g（x）=x²+x-a，（x≥1），
则g（x）是x∈[1，+∞）上的增函数，即g（x）≥2-a，
①当a≤2时，g（x）≥0，所以f′（x）≥0，因此f（x）是x∈[1，+∞）上的增函数，
则f（x）≥f（1）=0，因此a≤2时，不等式成立；   
②当a＞2时，即对x∈[1，+∞），f′（x）=0时，g（x）=0，
求得x₁=$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，（由于x≥1，所以舍去x₂=-1-$\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2}$）
当x∈[1，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）时，f′（x）＜0，则f（x）是x∈[1，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）上的减函数，
当x∈$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）是x∈（$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，+∞）上的增函数，
所以当x∈（1，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）时，f（x）＜f（1）=0，
因此a＞2时，不等式不成立；
综合上述，所求范围是a≤2．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．