Question

2．已知△ABC，$AC=BC=\sqrt{2}a$，∠ACB=90°，过点A，B作线段AN，BM分别与△ABC所在的平面垂直，且AN=AB=2BM，E，F，P分别是线段NC，AB，MC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面MBC；
（Ⅱ）求异面直线AB与ME所成角的余弦值；
（Ⅲ）求四面体PBMF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取线段MN的中点Q，连接QE，QF，利用平面QEF∥平面MBC，证明EF∥平面MBC；
（Ⅱ）取AC的中点D，连接ED，DB，证明∠ABD就是异面直线AB，ME所成的角，利用余弦定理求异面直线AB与ME所成角的余弦值；
（Ⅲ）利用${S_{△FMB}}=\frac{1}{2}{a^2}$，点P到平面FMB的距离是点C到平面FMB的距离的一半，又C到平面FMB的距离就是FC，求四面体PBMF的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取线段MN的中点Q，连接QE，QF，则QE∥MC，QF∥MB，
所以平面QEF∥平面MBC．
又因为EF?平面QEF，所以EF∥平面MBC．---------（4分）
（Ⅱ）解：取AC的中点D，连接ED，DB．
因为ED平行且等于$\frac{1}{2}AN$，MB平行且等于$\frac{1}{2}AN$，
所以ED平行且等于MB，从而四边形EDMB是平行四边形，
于是∠ABD就是异面直线AB，ME所成的角；
又因为$AD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a，AB=2a，BD=\sqrt{\frac{1}{2}{a^2}+2{a^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$，
所以cos$∠ABD=\frac{{A{B^2}+B{D^2}-A{D^2}}}{2AB•BD}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．------------（8分）
（Ⅲ）解：因为${S_{△FMB}}=\frac{1}{2}{a^2}$，点P到平面FMB的距离是点C到平面FMB的距离的一半，又C到平面FMB的距离就是FC，所以${V_{PBMF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a^2}×a=\frac{1}{6}{a^3}$．-----------（12分）

点评 本题考查平面与平面平行、线面平行的判定，考查异面直线AB，ME所成的角，考查四面体PBMF的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．