Question

17．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．

（1）求证：SO⊥平面ABCD；
（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A-PCD的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理，容易判断BD⊥平面SAC，所以BD⊥SO，而SO又是等腰三角形底边AC的高，所以SO⊥AC，从而得到SO⊥平面ABCD；
（2）连接OP，求出P到面ABCD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用V_{三棱锥A-PCD}=V_{三棱锥P-ACD}，这样即可求出三棱锥A-PCD的体积．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵BD⊥SA，SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC．
又∵SO?平面SAC，∴BD⊥SO．
∵SA=SC，AO=OC，∴SO⊥AC．
又∵AC∩BD=O，∴SO⊥平面ABCD．
（2）解：连接OP，
∵SB∥平面APC，SB?平面SBD，平面SBD∩平面APC=OP，∴SB∥OP．
又∵O是BD的中点，∴P是SD的中点．
由题意知△ABD为正三角形．∴OD=1．
由（1）知SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OD．
又∵SD=2，∴在Rt△SOD中，SO=$\sqrt{3}$，
∴P到面ABCD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∴V_A-PCD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×2×2sin 120°）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 考查线面垂直的判定定理，菱形对角线的性质，线面平行的性质定理，以及三角形的面积公式，三棱锥的体积公式．