Question

7．函数f（x）=2^x，g（x）=x²-2kx+$\frac{5}{2}$，若对于任意的s∈[-1，2]，都存在t∈[k，2k+1]，使得f（s）=g（t）成立，则实数k的取值范围是$[\sqrt{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 求出函数f（s）=2^s，s∈[-1，2]的值域和g（t）=t²-2kt+$\frac{5}{2}$，t∈[k，2k+1]，的值域，结合对于任意的s∈[-1，2]，都存在t∈[k，2k+1]，使得f（s）=g（t）成立，转化为集合包含关系后，可得实数k的取值范围．

解答 解：函数f（s）=2^s，s∈[-1，2]的值域为[$\frac{1}{2}$，4]，
函数g（x）=x²-2kx+$\frac{5}{2}$的图象是开口朝上，且以直线x=k为对称轴的抛物线，
故g（t）在[k，2k+1]上为增函数，且k＞-1，
故g（t）=t²-2kt+$\frac{5}{2}$，t∈[k，2k+1]，的值域为[$\frac{5}{2}-{k}^{2}$，2k+$\frac{7}{2}$]，
若对于任意的s∈[-1，2]，都存在t∈[k，2k+1]，使得f（s）=g（t）成立，
则[$\frac{1}{2}$，4]⊆[$\frac{5}{2}-{k}^{2}$，2k+$\frac{7}{2}$]，
解得：k∈$[\sqrt{2}，+∞）$，
故答案为：$[\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，存在性问题，其中将问题转化为值域的包含问题，是解答的关键．