Question

15．已知正实数x，y，z满足z=x²-xy+4y²，则当$\frac{z}{xy}$取得最小值时，$\frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}$的最小值为$-\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 首先求出$\frac{z}{xy}$的代数式，利用基本不等式求最小值，得到去最小值时的x，y 的关系，然后求$\frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}$的最小值．

解答 解：正实数x，y，z满足z=x²-xy+4y²，则$\frac{z}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-1$≥3，（当且仅当x=2y时等号成立），则当$\frac{z}{xy}$取得最小值3时，$\frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}$=$\frac{1}{2y}-\frac{2}{y}+\frac{3}{6{y}^{2}}$=$\frac{1}{2{y}^{2}}-\frac{3}{2y}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{y}-\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{8}$的最小值为$-\frac{9}{8}$；
故答案为：$-\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了基本不等式的运用求代数式的最值；关键是注意不等式运用的三个条件．