Question

圆x²+y²=1与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）求AB所在的直线方程；
（Ⅱ）过点A做两条互相垂直的直线分别与圆交于P，Q两点，试求△PAQ面积的最大值，并指出此时PQ所在的直线方程．

Answer 1

（I）由题可知A（1，0），B（0，1）…（1分），所以AB所在的直线方程y=-x+1…（3分）
（II）解法1：由题可知直线AP，AQ的斜率都存在，且不能为0，…（4分）
设AP的斜率为k，则AQ的斜率为-

1

k

，AP的直线方程为kx-y-k=0
所以do-AP=

|k|

k2+1

，从而：|AP|=2

1- d 2O-AP

=

2

k2+1

…（6分）
同理得：|AQ|=

2|k|

k2+1

，所以S△APQ=

1

2

|AP|•|AQ|=2

|k|

k2+1

=

2

|k|+ 1 |k|

≤1…（8分）
（当且仅当k=±1时等号成立）
所以△PAQ面积的最大值为1，此时PQ的方程为x=0…（10分）
解法2：由题可知∠PAQ始终为直角，所以PQ必通过圆心，从而|PQ|=2
当A点距离PQ最远时，即△PAQ为等腰直角三角形时，
△PAQ面积取最大值1
此时PQ的方程为x=0