Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，且，底面，为中点,点为上一点．

（1）求证： 平面；

（2）求二面角 的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交于O，连接EO，证明，推出 平面．
（2）以CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．

（1）连接交于，连接，

因四边形为矩形，，为对角线，所以为中点，又为中点，

所以，平面，平面，

所以 //平面．

（2）因为底面，所以底面，

又，所以以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则，，，．，，

设平面的法向量为,则有，即 令，则．

由题意底面，所以为平面的法向量，

所以，又由图可知二面角为钝二面角，

所以二面角 的余弦值为。