Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD＝2AB＝2AP＝2，PE＝2DE.

(1)若F为PE的中点，求证：BF∥平面ACE；
(2)求三棱锥P－ACE的体积．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接OE，

∵底面ABCD为矩形，∴OB＝OD.
∵F为PE的中点，∴PE＝2EF.
又∵PE＝2DE，∴DE＝EF，∴OE∥BF.
又∵BF?平面ACE，OE?平面ACE，∴BF∥平面ACE.
(2)∵侧棱PA⊥底面ABCD，∴AP⊥CD.
又∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD.
∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵AD＝2AB＝2AP＝2，
∴V_P－ACE＝V_C－AEP＝×CD×S_△AEP＝×CD×S_△ADP
＝×CD×AD×AP＝.