Question

已知函数f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，f（-x）=f（x），代入即可求解a，进而可求函数f（x），利用二次函数的性可知最小值
（2）先设1≤x₁＜x₂，然后通过作差f（x₂）-f（x₁）判断f（x₂）与f（x₁）的大小即可判断

解答：（本小题满分14分）
解：（1）∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴-2（-x）²+（a+3）•（-x）+1-2a=-2x²+（a+3）x+1-2a
∴-（a+3）=a+3，
∴a=-3…（2分）
∴f（x）=-2x²+7…（3分）
即函数f（x）的图象是顶点为（0，7），对称轴为y且开口向下的抛物线，
∴f（x）在区间[-1，0]上递增，在区间[0，3]上递减…（5分）
又∵f（3）=-2×3²+7=-11，f（-1）=-2×（-1）²+7=5
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为-11．   …（7分）
（2）设1≤x₁＜x₂则f（x₂）-f（x₁）=-2x22+(a+3)x2+1-2a+2x12-(a+3)x1-1+2a
=2(x12-x22)+(a+3)(x2-x1)
=（x₁-x₂）[2（x₁+x₂）-（a+3）]（10分）
∵1≤x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，2（x₁+x₂）＞4
∵a≤1
∴a+3≤4
∴2（x₁+x₂）-（a+3）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0
即f（x₂）＜f（x₁）
∴当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数（14分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性在函数求解中的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识