【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,且过定点M(1,
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx﹣ (k∈R)与椭圆C交于A、B两点,试问在y轴上是否存在定点P,使得以弦AB为直径的圆恒过P点?若存在,求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值,若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:由已知可得 ,
∴椭圆C的方程为
(2)解:由 得:9(2k2+4)x2﹣12kx﹣43=0①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根,
∴ ,
设P(0,p),则 ,
=
假设在y轴上存在定点P,使得以弦AB为直径的圆恒过P点,
则 ,即
.
即(18p2﹣45)k2+36p2+24p﹣39=0对任意k∈R恒成立,
∴ ,
此方程组无解,
∴不存在定点满足条件
【解析】(1)运用离心率公式和点M满足椭圆方程,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理,设P(0,p),求得向量PA,PB和数量积,再由直径所对的圆周角为直角,结合向量垂直的条件,即可得到结论.
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【题目】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的件产品作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为
,
,…,
,由此得到样本的频率分布方图,如图所示.
(1)在上述抽取的件产品中任取
件,设
为取到重量超过
克的产品件数,求
的概率;
(2)从上述件产品中任取
件,设
为取到重量超过
克的产品件数,求
的分布列与期望.
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【题目】已知函数g(x)= +lnx在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(0,π),f(x)=mx﹣
﹣lnx(m∈R). (Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)若f(x)﹣g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;
(Ⅲ)设h(x)= ,若在[1,e]上至少存在一个x0 , 使得f(x0)﹣g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范围.
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【题目】某地空气中出现污染,须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为,若多次喷洒,则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到去污作用.
(Ⅰ)若一次喷洒4个单位的去污剂,则去污时间可达几天?
(Ⅱ)若第一次喷洒2个单位的去污剂,6天后再喷洒
个单位的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污,试求
的最小值.
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【题目】已知正项等比数列{an}前n项和为Sn , 且满足S3= ,a6 , 3a5 , a7成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列bn= ,且数列bn的前n项的和Tn , 试比较Tn与
的大小.
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【题目】已知圆C过点,且与圆M:
关于直线
对称.
求圆C的方程;
过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
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【题目】2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车在一般情况下,大桥上的车流速度
单位:千米
时
是车流密度
单位:辆
千米
的函数
当桥上的车流密度达到220辆
千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆
千米时,车流速度为100千米
时,研究表明:当
时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
Ⅰ
当
时,求函数
的表达式;
Ⅱ
当车流密度x为多大时,车流量
单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆
时
可以达到最大?并求出最大值.
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