Question

集合M的元素为自然数，且满足：如果x∈M，则8－x∈M，试回答下列问题：

(1)写出只有一个元素的集合M；

(2)写出元素个数为2的所有集合M；

(3)满足题设条件的集合M共有多少个？

Answer 1

答案：
解析：

(1)M中只有一个元素，根据已知必须满足x＝8－x，∴x＝4．故含一个元素的集合M＝{4}． 　　(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，从而全部含两个元素的集合M应为{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}． 　　(3)满足条件的M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况： 　　①只含1个的有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}共5种； 　　②含有2个的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}共10种． 　　③含有3个的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}共10种． 　　④含有4个的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，1，7，2，6，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，0，8，1，7，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}共5种． 　　⑤含有5个的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}共1种． 　　共有5＋10＋10＋5＋1＝31(个)．

提示：

分析：抓住x∈M时，8－x∈M这一条件，对元素进行逐一验证，然后找出满足题意的基本元素，最后写出满足各题意的解． 　　评注：由集合中元素的互异性及两元素之和为8的特点出发，在(3)同中，从M中元，素的特点入手，满足条件的集合可含(4}，{0，8}，{1，7)，{2，6}，{3，5}中的1个，2个，3个，4个，5个，分别“数”之，最后求和．