Question

已知，f（x）=3cos（2x+

π

4

）+2，x∈[0，

π

2

]．
（1）求函数的值域；
（2）若方程f（x）=a有两个相异实根，求a的范围．

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，结合所给的x的取值范围，求解2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，然后，结合余弦函数的图象确定其值域；
（2）结合图象进行求解．

解答： 解：（1）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x∈[0，π]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴cos（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
∴3cos（2x+

π

4

）+2∈[-1，2+

3 2

2

]，
∴函数的值域[-1，2+

3 2

2

]，
（2）如图所示，
若方程f（x）=a有两个相异实根，
则两个函数的图象有两个交点，则
当x=

π

2

时，y=2-

3 2

2

，
∴a∈[-1，2-

3 2

2

]．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质，数形结合思想在解题中的应用等知识，属于中档题．