Question

已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），且a₂=6，
（1）计算a₁、a₃、a₄，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=a_n+n（n∈N^*），求

lim

n→∞

(

1

b2-2

+

1

b3-2

+…

1

bn-2

)的值．

Answer 1

分析：（1）计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法进行证明；
（2）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可求得结论．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=1，且a₂=6
当n=2时，a₃=3（a₂-1）=15，
当n=3时，2a₄=4（a₃-1），∴a₄=28，…（2分）
猜测an=2n2-n…（4分）
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1，2，3，4时，等式an=2n2-n已成立…（5分）
ⅱ假设当n=k时，ak=2k2-k
则由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），有：ak+1=

k+1

k-1

(k-1)(2k+1)=2k²+3k+1=2（k+1）²-（k+1）
即n=k+1时，等式也成立
综上，an=2n2-n成立…（7分）
（2）b_n=a_n+n=2n²
∴b_n-2=2（n-1）（n+1）…（8分）
∴

1

bn-2

=

1

4

（

1

n-1

-

1

n+1

）…（10分）
∴

lim

n→∞

(

1

b2-2

+

1

b3-2

+…

1

bn-2

)=

lim

n→∞

1

4

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=

lim

n→∞

1

4

(

3

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3

8

…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．