Question

已知动点P到定点F(

2

，0)的距离与点P到定直线l：x=2

2

的距离之比为

2

2

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若

EM

•

FN

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先设点P坐标，再根据定点F(

2

，0)的距离与点P到定直线l：x=2

2

的距离之比为

2

2

求得方程．
（2））先由点E与点F关于原点O对称，求得E的坐标，再根据直线l的方程设M、N坐标，然后由

EM

•

FN

=0，即6+y₁y₂=0．构建|MN|=y1-y2=y1+

6

y1

，再利用基本不等式求得最小值．

解答：解：（1）设点P（x，y），
依题意，有

(x- 2 )2+y2

|x-2 2 |

=

2

2

．
整理，得

x2

4

+

y2

2

=1．
所以动点P的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(-

2

，0)．
∵M、N是直线l上的两个点，
∴可设M(2

2

，y1)，N(2

2

，y2)（不妨设y₁＞y₂）．
∵

EM

•

FN

=0，
∴(3

2

，y1)•(

2

，y2)=0．
即6+y₁y₂=0．即y2=-

6

y1

．
由于y₁＞y₂，则y₁＞0，y₂＜0．
∴|MN|=y1-y2=y1+

6

y1

≥2

y1• 6 y1

=2

6

．
当且仅当y1=

6

，y2=-

6

时，等号成立．
故|MN|的最小值为2

6

．

点评：本小题主要考查椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力