Question

【题目】已知函数，，（常数）.

（I）当与的图象相切时，求的值；

（Ⅱ）设，讨论在上零点的个数.

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）当时，在上没有零点；时，在上只有一个零点；时，在上有两个零点.

【解析】

（I）设出切点的坐标，利用导数的几何意义求出过点A 的斜率，写出切线的点斜式方程，结合待定系数法，即可求出的值。

（Ⅱ）将变形得到， 当时，，没有零点；当时，在单调递减，在单调递增.有最小值 ，对进行讨论得出在上零点的个数。

（I）设切点为，，

所以过点的切线方程为，即，

所以，解得：.

（Ⅱ），设函数，

在上零点的个数与在上零点的个数相同，

当时，没有零点；

当时，，

时，；时，，

∴在单调递减，在单调递增.

故是在的最小值.

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在上有两个零点，

综上，时，在上没有零点；时，在上只有一个零点；时，在上有两个零点.