Question

18．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点，若$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$，则λ+μ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{BH}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，从而由$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BH}$，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AH}$解得λ+μ．

解答 解：∵AB=2，∠ABC=60°，
∴BH=1，
∴$\overrightarrow{BH}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BH}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AH}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$，
故λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{1}{6}$，故λ+μ=$\frac{2}{3}$；
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．