Question

9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x₀，y₀）、直线l：ax+by+c=0，我们称$δ=\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$为点P（x₀，y₀）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．
（1）设椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的任意一点P（x，y）到直线l₁：x-2y=0，l₂：x+2y=0的方向距离分别为δ₁、δ₂，求δ₁δ₂的取值范围．
（2）设点E（-t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα-2=0的方向距离分别为η₁、η₂，试问是否存在实数t，对任意的α都有η₁η₂=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．
（3）已知直线l：mx-y+n=0和椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F₁，F₂到直线l的方向距离分别为λ₁、λ₂满足${λ_1}{λ_2}＞{b^2}$，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意${δ_1}=\frac{x-2y}{{\sqrt{5}}}$、${δ_2}=\frac{x+2y}{{\sqrt{5}}}$，于是${δ_1}{δ_2}=\frac{{{x^2}-4{y^2}}}{5}=\frac{{2{x^2}-4}}{5}$，又-2≤x≤2得0≤x²≤4，即可求δ₁δ₂的取值范围．
（2）由题意${η_1}=\frac{-tcosα-2}{{\sqrt{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}}$，${η_2}=\frac{tcosα-2}{{\sqrt{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}}$，于是${η_1}{η_2}=\frac{（tcosα-2）（-tcosα-2）}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}=1$，可得4-t²cos²α=cos²α+4sin²α?（3-t²）cos²α=0对任意的α都成立，即可得出结论；
（3）确定n²＞b²+m²a²，$A（-\frac{n}{m}，0）$，B（0，n）$|AB{|^2}=\frac{n^2}{m^2}+{n^2}$，即可比较|AB|的长与a+b的大小．

解答 解：（1）由点P（x，y）在椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上，所以${y^2}=1-\frac{x^2}{4}$
由题意${δ_1}=\frac{x-2y}{{\sqrt{5}}}$、${δ_2}=\frac{x+2y}{{\sqrt{5}}}$，于是${δ_1}{δ_2}=\frac{{{x^2}-4{y^2}}}{5}=\frac{{2{x^2}-4}}{5}$     2分
又-2≤x≤2得0≤x²≤4，即$-\frac{4}{5}≤{δ_1}{δ_2}≤\frac{4}{5}$       4分
（2）假设存在实数t，满足题设，
由题意${η_1}=\frac{-tcosα-2}{{\sqrt{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}}$，${η_2}=\frac{tcosα-2}{{\sqrt{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}}$，
于是${η_1}{η_2}=\frac{（tcosα-2）（-tcosα-2）}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}=1$       6分
4-t²cos²α=cos²α+4sin²α?（3-t²）cos²α=0对任意的α都成立
只要3-t²=0即可，所以$t=±\sqrt{3}$
故存在实数t，$t=±\sqrt{3}$，对任意的α都有η₁η₂=1成立．           9分
（3）设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0）、（c，0），于是c²=a²-b²
${λ_1}=\frac{-mc+n}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$、${λ_2}=\frac{mc+n}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$于是${λ_1}{λ_2}=\frac{{{n^2}-{m^2}{c^2}}}{{1+{m^2}}}＞{b^2}$⇒n²＞b²+m²a²
又$A（-\frac{n}{m}，0）$，B（0，n）即$|AB{|^2}=\frac{n^2}{m^2}+{n^2}$               12分
所以$\frac{n^2}{m^2}+{n^2}＞{a^2}+\frac{b^2}{m^2}+{b^2}+{m^2}{a^2}≥{a^2}+{b^2}+2ab={（a+b）^2}$
综上|AB|＞a+b．           14分

点评 本题考查推理，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度大．