Question

14．已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（　　）

• A． $（{0，\frac{π}{6}}）$
• B． $（{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}）$
• C． $（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$
• D． $（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$

Answer 1

分析 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b²=c²-a²联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e，即可得出结论．

解答 解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c
∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，
设A点的纵坐标大于0，
∴|AF|=p，
∴A（$\frac{p}{2}$，p），
∵点A在双曲线上，
∴$\frac{{p}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵p=2c，b²=c²-a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
化简得：c⁴-6c²a²+a⁴=0，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e²＞1，
∴e²=3+2$\sqrt{2}$，
∴1+（$\frac{b}{a}$）²=3+2$\sqrt{2}$
∴（$\frac{b}{a}$）²=2+2$\sqrt{2}$＞3
∴l的倾斜角所在的区间可能是（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
故选：D．

点评 本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．